3 Nisan 1999 tarihinde Avusturya'nın başkenti Viyana'da dünyaya gelen Mert Müldür, futbola şehrinin takımı Rapid Wien altyapısında 6 yaşındayken başladı.
 
2015-16 ve 2016-17 sezonlarında Rapid Wien'in 18 yaş altı takımında 37 maça çıkan Mert, 5 gol atarken 9 da asist yaptı.
 
2017-18 sezonunda Rapid Wien'in 2. takımında 23 maça çıkan Mert Müldür, performansıyla A takıma yükseldi ve Avusturya Bundesliga liginde 2 maça çıktı.
 
A milli oyuncu, 29 Mayıs 2018'de Rapid Wien formasıyla 3 yıllık sözleşmeye imza attı.
 
Bu tarihten itibaren takımın vazgeçilmezlerinden olan genç oyuncu, sezonu 41 resmi maçta attığı 1 gol ve yaptığı 6 asistle tamamladı.
 
2019-2020 sezonuna da Rapid Wien'de başlayan Mert Müldür, İtalya Serie A Ligi ekiplerinden Sassoulo'nun radarına girdi ve 20 Ağustos 2019'da İtalyan ekibine transfer oldu.
 
İtalyan ekibiyle ilk sezonunda 25 maça çıkan Mert, 2 gol atarken 3 de gol pası verdi.
 
Sassolo ilk 11'inin değişmez isimlerinden olan A milli oyuncu, bu kulüpte geride bıraktığı 4 sezonda 90 kez forma giydi.
 
Birden çok mevkiide görev yapabilen genç isim, ay yıldızlı forma altında çıktığı 18 maçta 1 gol atıp 3 de asist yaptı.